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¿Qué es la composición de funciones? Lo explicamos aquí

Qué es la composición de funciones

En este post hablaremos de un tema que a más de un estudiante de Matemáticas le ha provocado dolores de cabeza; se trata de un asunto complejo que requiere un tratamiento pormenorizado, y para eso es que estamos aquí. ¿Quieres conocerlo todo sobre la composición de funciones?¿Necesitas saber cómo llevarla a cabo por medio de un método sistemático y sencillo? No digas más: obtén ahora toda la información.

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Tras estas palabras preliminares, te invitamos a adentrarte en el mundo de la composición de funciones. ¿Estás preparado? Allá vamos.

¿Qué es una función compuesta?

Antes de pasar al proceso compositivo de las expresiones matemáticas en sí mismo (calma, que te explicaremos de qué manera calcular la función) nos parece fundamental delimitar el concepto de “función compuesta” como tal. Por ello, daremos algunas nociones preliminares de forma previa a la explicación del paso a paso para el cálculo matemático.

En el ámbito del álgebra abstracta, se denomina “función compuesta” a aquella creada a través del proceso matemático de composición o –lo que es lo mismo- la aplicación continua de otras 2 funciones. Para lograrlo, se debe aplicar en el argumento aquella función que resulte más próxima a este, y al cociente del cálculo previo se le aplica, por último, la función que resta.

Así vemos que, en el proceso de composición de funciones, por supuesto, las funciones compuestas son el resultado de tal proceso matemático. Ahora veremos otra sencilla definición de este término para que sepas concretamente de qué estamos hablando cuando mencionamos el término “función compuesta”.

Habiendo 2 funciones (denominadas “f(x)” y “g(x)”), se llama “función compuesta de f con g” a aquella en la cual la imagen de un determinado número real x resulta de la actuación sucesiva en x, en primer término f y en segundo lugar, g. Para encontrar la ecuación analítica de tal función producto de 2 funciones, tienes que aplicar el siguiente resultado: (g o f) (x) = f [g(x)].

Por otra parte, aquí también juega un rol fundamental el concepto de “función inversa”. Delimitaremos el mismo y te explicaremos de manera sencilla cómo la puedes calcular, en caso de que sea necesario.

Calculadora composición de funciones
Cómo hacer composición de funciones

Pues bien, la llamada “función inversa” de una determinada función de tipo f(x), consiste en aquella que al armarla mediante f(x) brinda como resultado una función identidad (expresable con el formato i (x)). A continuación veremos un ejemplo de un cálculo concreto para que esta explicación cobre más sentido.

Imagina que tienes delante la función y = 2x – 3 y deseas identificar el origen del número 5; esto es, saber cuál es el número real con imagen 5. Para dar con el resultado buscado, tienes que hallar una x de tal manera que 2x – 3 = 5; 2x = 5 + 3, 2x = 8; x = 4. Esto significa que 4 es el origen del número 5.

Igualmente, si por ejemplo te preguntases por el origen de cualquier número real y, tendrías que aplicar el mismo proceso ya visto: deberías buscar los números x que provocasen la relación 2x – 3 = y, a continuación 2x = y + 3 y finalmente, y + 3/ 2. Esta última vincula cada uno de los números reales y con su correspondiente origen x. Es decir, se identifica un vínculo de dependencia entre cierto número real y un x.

En otras palabras, nos encontramos delante de la expresión matemática de una ecuación en la cual la variable independiente se halla representada por y, mientras que la dependiente está simbolizada por x. Como habrás podido notar, aquí los papeles habituales de los ejes están alterados; es por eso que se puede transformar la habitual expresión y + 3/ 2 por la siguiente: y = x + 3/ 2. Esta última muestra el vínculo de dependencia de un número real x con el origen en y.

Composición de funciones: propiedades

El proceso de la composición de funciones mantiene siempre algunas constantes identificables, es decir, tiene características que lo distinguen frente a otros procesos matemáticos. Se trata de un conjunto de operaciones complejas que necesitan un análisis pormenorizado.

Siendo así, a continuación pasaremos revista brevemente a las propiedades de la composición de funciones para que las tengas en claro. La mayoría de los autores (y de acuerdo con bibliografía considerada clásica sobre el tema) distingue 3 grandes propiedades, que son la de asociación, conmutación e identidad. Explicamos someramente cada una de las mismas:

  • Propiedad de asociación: presentes 3 funciones cualquiera, por ejemplo f(x), g(x) y h(x), siempre se da el siguiente fenómeno: ho(gof) = (hog)of.
  • Propiedad de conmutación: normalmente, la composición de funciones no es de tipo conmutativo; esto significa que gof y fog representan casi siempre 2 funciones diferentes.
  • Propiedad de identidad (o “función identidad”): dada la función i(x) = a –que siempre provoca la correspondencia de un número real con sí mismo- si se la compone con otra función f(x), arroja f(x) como resultado. Por otra parte, i(x) resulta conmutable con cualquier otra función; así, se considera que este constituye el ítem neutro del fenómeno de composición de funciones.

Además de estas propiedades, también nos parece importante destacar que, para que haya una función compuesta, deben cumplirse 2 condiciones básicas, que hacen en realidad a la naturaleza de cualquier función:

  • Existencia: por medio de esta condición, si tenemos x también sabemos (x, f (x)), ya que contamos con la función f; lo mismo, presente un elemento de y podemos identificar (y, g (y)), ya que sabemos cuál es la función g. Entonces, (x, g ( f (x)) ) se encuentra definida para la totalidad de x, y de esta forma (g ∘ f) hace a la “existencia”.
  • Unicidad: dado que f y g consisten en funciones bien definidas, en cada x el valor f (x) resulta único; asimismo, para cada f (x) es único el valor de g (f(x)).

Composición de funciones: ejercicios

Sabemos que este tema reviste bastante complejidad, y por ello, creemos que además de leer la teoría presente en el post deberías practicar en casa la composición de funciones mediante ejercicios de aplicación. Solo si logras llegar al resultado esperado, podrás comprobar que comprendes el tema de cabo a rabo.

Desde aquí puedes acceder a una serie de ejercicios ya resueltos (tú haz la práctica y al terminar, checa el resultado para saber si coincide con el tuyo), que te permitirán habituarte a la composición de funciones más rápido. Son opciones totalmente gratuitas, libres de virus, seguras y creadas por expertos en el tema. No tengas temor, pues en nuestros posts siempre compartimos enlaces verificados y confiables.

En el caso de que necesites una calculadora científica para obtener parte del cociente de tus ecuaciones, no dudes en entrar a la siguiente web. Se trata de una herramienta esencial para cualquier estudiante de Matemáticas, investigador o aficionado a las funciones. Podrás obtener en tan solo segundos el resultado exacto de cualquier función, sin importar su naturaleza.

Gráfica de funciones compuestas

Después de haber hallado los resultados de cada ejercicio, probablemente necesites observar cómo se reflejan en la gráfica. Si pulsas en este enlace, podrás ingresar ahora mismo a una excelente plataforma virtual donde, con solo colocar los valores de las funciones en cuestión, el sistema te dará la expresión gráfica de inmediato.

Ejercicios composición de funciones
Explicamos el proceso de composición de funciones

Graficar una función es sencillo gracias a los recursos virtuales con los que contamos hoy. Olvídate del lápiz y la hoja cuadriculada: por medio del software que citamos, obtendrás el resultado que buscas en un instante. Lo mejor de todo es que luego puedes guardarlo en formato de imagen o imprimirlo para anexarlo a un TP o presentación.

Aclaramos que esta herramienta, al igual que el resto de las opciones y recursos que mostramos en nuestros artículos, es totalmente gratuita y segura. Está disponible las 24 horas para que la utilices siempre que la necesites. De cualquier manera, si no te gusta del todo, te invitamos a consultar este artículo sobre distintos graficadores de funciones. Allí encontrarás un amplio abanico de propuestas para que escojas la que más se adapte a ti.

En fin, ya va llegando el momento de terminar este análisis. Acabamos de realizar un recorrido por el proceso de la composición de funciones. Ahora sabes cuáles son sus principales características, a qué se denomina función inversa y de qué manera la puedes calcular. ¿Tienes dudas, preguntas, comentarios? Puedes dejar tu opinión debajo de este post. Sabemos que las Matemáticas en general son desafiantes, y por eso constantemente estamos recibiendo consultas de parte de nuestros seguidores.

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