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Te explicamos todo sobre las funciones racionales

Tipos de funciones racionales

Siempre intentamos brindar ayuda a los usuarios de Internet y a los lectores de nuestra web para acercarles la información que necesitan, de la mano de un gran equipo de expertos. En esta ocasión, expondremos el tema de las funciones racionales: explicamos en qué consisten, cómo se clasifican, para qué se usan en la vida cotidiana y mucho más. Por supuesto, con datos aportados y revisados por quienes más saben del tema.

No te muevas un segundo de la pantalla si quieres dominar esta clase de funciones matemáticas al 100%. Este post puede servirte como complemento a la explicación de un profesor, como ayuda para entender un manual de estudio, como introducción al tema si no sabes nada del mismo o simplemente, como una fuente de consulta para saciar tu curiosidad.

Prepárate para saberlo todo sobre las funciones racionales, con una explicación clara y sencilla, de términos que cualquiera puede entender. Además, agregamos enlaces directos a ejercicios prácticos, graficadores de funciones, calculadoras en línea y aquellos recursos imprescindibles para trabajar con estas expresiones matemáticas.

Funciones racionales: definición

Dicho en pocas palabras, una función llamada “racional” es aquella que puede expresarse como el cociente o resultado dado a partir de 2 polinomios. Tienen la forma y = f (x), en la cual f (x) representa una función racional. Pulsa sobre la siguiente dirección para ver una imagen de cómo se escribe y grafica tal función.

Si tenemos en cuenta que el denominador de la función es un número (esto es, un polinomio en 0° -grado cero-), entonces la misma representa un polinomio. La conclusión aquí es que las funciones polinómicas son también funciones racionales. No obstante, ambos términos no son equivalentes. ¿Cuáles son los atributos que distinguen a estas últimas de las polinómicas?

Funciones racionales de segundo grado
Funciones racionales polinómicas

Pues bien, en ciertos casos hay valores de x que resultan problemáticos porque, en una función racional dada, aparece un denominador 0 y es imposible dividir entre 0. Tales valores de x que provocan que el denominador sea así, mantienen un rol particular. Ya que es imposible obtener el valor de la función, en esos casos se debe concluir que la función no se encuentra definida para tales valores de x. Al mismo tiempo, se puede decir que los puntos no están incluidos en el dominio de la función.

¿Qué factor influye sobre el dominio de una cierta función racional? Este viene dado por las restricciones que coloca el denominador (no es posible dividir entre 0). Llamamos “dominio” a la totalidad de números reales para los cuales ha sido definida la función. Específicamente en las funciones racionales, constituye el grupo del 100% de números reales que no representan ceros (0) del denominador.

Así, para poder especificar el dominio de una función racional debes hallar los 0 (ceros) reales que incluye el denominador. Tales puntos son llamados “singularidades”; y sin dudas resulta muy interesante observar el comportamiento de la función cuando está cerca de los mismos.

Por otra parte, las funciones racionales siempre son continuas en el dominio, por más de que no esté constituido por todos los números reales. Además, el comportamiento ad infinitum de la función racional viene dado por una función polinómica. Puede presentar, de acuerdo al caso del cual se trate, una asíntota oblicua u horizontal.

Después de este breve panorama explicativo del concepto de “funciones racionales”, te invitamos a continuar leyendo para saber cuáles son los tipos de funciones específicas que tradicionalmente distingue la bibliografía al interior de tal clasificación.

Tipos de funciones racionales

Ahora que sabes en mayor o menor medida en qué consisten las funciones racionales, es preciso que sepas que no existe un único tipo de las mismas. A continuación clasificaremos las diversas clases que hay para que las tengas en cuenta.

Funciones racionales lineales

Se llama de esta forma a aquella función racional que tiene, como numerador, un número o polinomio 1° (grado 1) y como denominador, un polinomio de grado 1. Cuando la función aparece a partir de una fórmula y en esta existe una división, debemos preguntarnos si para cierto valor de x el denominador equivale a 0 (cero) y estamos tratando de dividir entre cero, ya que esta tarea es matemáticamente imposible.

Entonces –tal como explicamos más arriba- se dice que tal valor de x no pertenece al dominio de la función; en las funciones lineales, en todos los casos es posible hallar un único valor al cual le sucede este fenómeno. En cambio, en otras expresiones pueden darse 1 o más de tales valores o de hecho, ninguno.

Para dar con ese valor es que nos ayudamos con las precisiones del Álgebra; tratamos de resolver una ecuación (el polinomio grado 1 del denominador es igual a cero (0).). Aquí, el valor hallado es nada menos que la solución del problema, y este cociente también se denomina “cero del polinomio” o “raíz del polinomio”.

A nivel gráfico, tal resultado se puede graficar como una recta inclinada (es decir, una línea oblicua). El valor hallado equivale al punto de corte de dicha recta con respecto al eje x (esto es, el denominado “eje de abscisas”). Justo aquí debajo puedes ver una imagen de una función racional lineal, para que tengas más en claro cómo se vería desde la gráfica.

Ejemplos de funciones racionales
Funciones racionales lineales

Recuerda que si necesitas graficar una función, puedes prescindir del papel cuadriculado y las reglas, pues desde aquí podrás acceder a un excelente graficador online gratis. Lo único que tienes que hacer es introducir los datos del cálculo para que se marquen las coordenadas, y listo. El resultado se puede guardar como una imagen en distintos formatos o imprimirlo con alta definición.

Funciones racionales propias

Continuando con nuestra taxonomía, además de las funciones racionales lineales existe otro tipo denominado “funciones racionales propias”. En este caso, se trata de que el grado del numerador resulta de menor tamaño que el grado del denominador.

Aquí, el polinomio determina la conducta de la función cuando x se agranda en valores absolutos. Esto sucede porque una función racional propia colabora bastante poco con los valores de la función siempre que intervengan valores mayores de x.

Funciones racionales impropias

Nos encontramos frente al caso contrario al anterior; en las funciones racionales impropias, el numerador y el denominador poseen grado 1. Cuando la función es de este tipo, se hace posible practicar la división entre numerador y denominador; luego, se puede expresar la función racional como la suma entre un polinomio y una función racional propia.

Funciones racionales de grado 2

En estas, el denominador consiste en un polinomio de grado 2 (es decir que, gráficamente, se expresan como una parábola). El ejemplo más simple y habitual se da en el caso de que el numerador sea una constante y el denominador, consista en un polinomio grado 2.

Tal clase de funciones racionales puede presentar 2 asíntotas en vertical, solo 1 asíntota en vertical o, de hecho, ninguna. El fenómeno depende de la naturaleza de las raíces en el denominador y, de alguna forma, de las bases del numerador. Aquí la función no se encuentra definida con respecto a las raíces del denominador, es decir, según los valores que vuelven 0 el denominador, ya que es imposible dividir entre 0 (cero).

Tales valores se consideran “singularidades” –o, lo que es lo mismo- las particularidades de la función. Resulta muy interesante analizar la conducta de la función cuando esta se halla cerca de las singularidades. En ciertos casos, según la conducta en los límites de la singularidad podremos decir que la función posee asíntota vertical.

En cambio, en el caso opuesto –el numerador equivale a 0- la función racional viene dada por la línea horizontal y = 0 aunque con 2 agujeros, 1 único agujero o la recta continua sin ellos, dependiendo de la naturaleza del denominador. Tales funciones, en la totalidad de los casos, presentan asíntota horizontal (es decir, y es igual a cero – y = 0).

Ahora bien, si tenemos en cuenta aquellas funciones racionales que presentan en el numerador un polinomio grado 1 (es decir, gráficamente el numerador consiste en una línea no horizontal), debemos reparar en que tales funciones pueden mostrar 2, 1 o ninguna singularidad. La conducta de la función en los límites de las singularidades (esto es, si la expresión se vuelve más o menos infinita) varía según el punto en el cual la línea corta el eje de las abscisas.

Funciones racionales de grado 3

Se denomina de esta forma a aquellas funciones racionales que presentan valores mayores de x ( + x o – x, es decir, x positivo o negativo). En ciertos casos, si el grado del denominador excede al del numerador (en una función racional propia), dicha función presenta una asíntota horizontal y = 0 (el eje de las abscisas). Tal caso es el de la hipérbola equilátera (igual en ambos lados).

Cuando el grado del numerador equivale o supera al del denominador, tal función es impropia. Es posible dividir el numerador por el denominador para obtener un cociente y su resto; dicho resto representa un polinomio cuyo grado resulta menor que el grado del denominador. El resto que se divide por el denominador resulta una función racional propia y aporta prácticamente nada al valor de la función, al tener en cuenta valores mayores y absolutos de x.

Cuando en las funciones racionales impropias el grado del numerador equivale al del denominador, si hacemos la división obtendremos un cociente expresado como número (o, lo que es exactamente lo mismo, un polinomio grado 0). Así, es posible expresar la misma función de origen bajo la forma de número más una función racional de tipo propio.

En tales casos, la función presenta asíntota vertical; se puede expresar con el cociente obtenido al realizar la división. La asíntota en cuestión es una línea horizontal o función constante. Dicho cociente es sencillo de calcular, pues alcanza con tener en cuenta los términos más altos (de mayor grado) del numerador y denominador, para luego dividirlos.

Si en la función aparece una asíntota, gráficamente es posible hacer un acercamiento a la recta al mantener valores aleatoriamente grandes de x. Incluso, la gráfica se aproximará a la asíntota al tener en cuenta grandes valores negativos expresados como valor absoluto.

Ejercicios de funciones racionales

Sabemos que una cosa es la teoría, la explicación en palabras que nos permite decir que “entendimos” un tema, y otro asunto más complejo es su puesta en práctica. La única manera de comprobar que has comprendido cabalmente las funciones racionales, es por medio de la ejercitación.

Siendo así, en la siguiente dirección podrás encontrar una amplia serie de ejercicios prácticos basados en esta clase de funciones, para que puedas sentarte a practicar en tu propia casa. Cada uno de ellos incluye la solución (escondida al principio, claro está), así verificas el resultado una vez que hayas terminado.

Si quieres dominar perfectamente el tema de las funciones racionales, te recomendamos sentarte con cierta regularidad a practicar. Por supuesto, puedes ayudarte con una calculadora científica online como esta; no hace falta que obtengas todos los valores a mano (¡ya no estamos en esas épocas!).

Calculadora funciones racionales
Cómo calcular las funciones racionales

Por otra parte, aquí consignamos un magnífico graficador gratuito para que obtengas la expresión en imágenes de todas las funciones racionales que vayas a calcular. Al terminar, podrás imprimirlas para presentarlas en la institución donde estudias, o agregarlas a tus documentos de investigación.

Aclaramos, antes de terminar, que hemos revisado cuidadosamente las direcciones web compartidas para verificar que ninguna de ellas redirija a descargas no deseadas, pop-ups ni publicidad molesta. Queremos poner a tu disposición información lo más confiable posible, para que no pierdas tiempo ni caigas en engaños. La idea es que salgas habiendo encontrado lo que viniste a buscar.

Acabamos de pasar revista a las distintas clases de funciones racionales. Ahora sabes en qué consisten, cuál es su importancia para el quehacer científico y cotidiano, y qué tipos existen. ¿Tienes dudas, preguntas, comentarios? Tienes a tu disposición, justo aquí debajo, una caja de diálogos para expresarte y plantear tus inquietudes.

Finalmente, si así lo deseas, puedes seguir navegando por nuestra web para revisar información sobre otros tipos de funciones matemáticas que hemos explicado. Abordamos funciones algebraicas, exponenciales, trigonométricas y de muchas otras categorías a tener en cuenta.